Monthly Archives: June 2024

最近，给学生布置一道习题，模拟正方格子上不回头无规行走，计算其平均末端距平方。这个问题有解析解，在我自己大约20年前写的讲义上，给了一个解析结果，我完全想不起来这个结果是怎么来的。既然是布置的作业，自己也应该做一遍，于是，写了几行代码，运行了几分钟，结果就出来了。不幸的是，计算结果与我所给的那个解析结果不符。当然，一般的行为是对的 $\langle R^2 \rangle \propto N a^2$, 这里， $N$ 是链长， $a$为格点常数。但系数与讲义上的结果不一样。计算结果和讲义上的公式，至少有一个是错的。程序太简单，不大可能出错，但基于刚刚犯过一个简单的错误，所以还是仔细斟酌了算法，检查了代码，确认无误。那么，公式大概是错了，因讲义上没有任何关于此公式来历的信息，遂上网搜索，搜到若干结果，都是不带系数的正比关系。于是，决定坐下来认真地推导一下这个公式。先是针对正方格子，很快能得到结果，然后注意到对于一般的格子也成立，所得系数只与格点的最近邻数$z$有关且关系非常简单。结果是： 在$N \ge 2$时， 末端距平方的平均值为 $$ \langle R^2 \rangle =\frac{z}{z-2} Na^2 – \frac{2}{(z-2)^2} \frac{(z-1)^N -1}{(z-1)^{N-1}} a^2 \qquad(1) $$ 当$ N \to \infty $时为 $$ \langle R^2 \rangle =\frac{z}{z-2} Na^2 \qquad(2) … Continue reading →

$$\def\dd{\text d}$$ 今年的五一劳动节过的名副其实. 节前，与几个小同学讨论他们做的一个题目，在没有准备的情况下，讲了一下一个盒子中放了若干个硬球的速度(或动量)分布的推导。 系统的能量是给定的，这样就有一个约束关系，即所有硬球的动能加起来守恒，写出来就是 $$ \sum_{i=1}^N \vec p_i^2 = 2mE \qquad (1) $$ 按照等概率假定，在此约束条件下，每个可能的微观状态有相同的概率。现在要求单粒子动量分布，这只要把常数的概率对于除一个硬球的动量外的其他动量积分即可，也就是对$N-1$个硬球的动量在(1)式的限制下积分。若对$\vec p_2, \vec p_3, \cdots, \vec p_N$积分，限制条件成为 $$ \sum_{i=2}^N \vec p_i^2 = 2mE -\vec p_1^2 \qquad (2) $$ 若系统所在的空间维数是$D$, (2)式是一个$D(N-1)$维空间的球面，球的半径$R =\sqrt{2mE -\vec p_1^2}$, 所以，积分的结果就是这个球的面积，正比于 $R^{D(N-1)-1}$，于是，单粒子动量分布就是 $$ … Continue reading →

$$\def\dd{\text{d}}$$ 这两年给云南大学物理天文学院的研究生教一门叫做《高等统计物理》的课。自己准备了一份讲义，推荐了三本参考书，分别是M. Plischke, B. Bergerson, Equilibrium Statistical Physics; A. J. Berlinsky, A. B. Harris, Statistical Mechanics, An Introductory Graduate Course; R. K. Pathria, P. D. Beale, Statistical Mechanics。第三本大概是一本广泛使用的教材，因为它已经出到第四版了。昨天在浏览此书时，捕捉到一个明显的错误。查了一下，这个错误从第一版一直到第四版都存在。这是很奇怪的事情，正常情况下，新版会改正老板的错误，并产生若干新的错误。一个明显的错误能够持续存在于每个版本，应属罕见。 先说这个错误，出现在第四版，第15章，第1节，公式(18); 第三版，第十五章，第1节，公式(18); 第二版，第14章，第1节，公式(18); 第一版，第13章，第1节，公式(18)。错误的公式是 $$\begin{aligned} \overline{(\Delta E)^2} & =k T^2 C_V+k T … Continue reading →

在2016年-2019年期间, 我在上海交通大学开设了名为《热物理学的建立和演化》的新生研讨课，课程内容之一是研读几篇经典的热物理文献.  克拉珀龙的文章是其中的第二篇，当时无法找到文章的中文全文翻译. 为了帮助同学阅读其英文翻译，我在课程进行中陆陆续续从英文翻译成中文.  注意到目前似乎还没有这篇重要历史文献的完整中文翻译，现整理逐步发出，以作为引玉之砖，希望能有基于法文原文的确切的中文翻译尽早出现. 19世纪40年代之后, 许多学者是通过克拉珀龙的这篇文章得知卡诺的工作的，这篇文章在热物理学的发展历史上有重大意义. 英文版本来自于如下链接：https://en.wikisource.org/w/index.php? title=Scientific_Memoirs/1/Memoir_on_the_Motive_Power_of_Heat&oldid=5767467 考虑到目前手机已经成为重要的阅读工具， 这里给出一个适合A4纸打印的版本和一个适合手机阅读的版本. clapeyron-trans-A4 clapeyron-trans-note

在2016年-2019年期间, 我在上海交通大学开设了名为《热物理学的建立和演化》的新生研讨课，课程内容之一是研读几篇经典的热物理文献. 卡诺的文章是其中的第一篇，但当时无法找到文章的中文全文翻译. 为了帮助同学阅读其英文翻译，我在课程进行中陆陆续续从英文翻译成中文. 翻译中所依据的两个英文版本的语音风格差别较大，个别地方的含义也有不同. 注意到目前似乎还没有这篇重要历史文献的完整中文翻译，现整理发出，以作为引玉之砖，希望能有基于法文原文的确切的中文翻译尽早出现. 英文版本来自：The Second Law of Thermodynamics — Memoirs by Carnot, Clausius and Thomson. Translated and Edited by W. F. Magie, Ph. D.  Professor of Physics in Princeton University.  New York & London: Harper & Brothers … Continue reading →