不回头无规行走(NRRW)的平均末端距平方

最近,给学生布置一道习题,模拟正方格子上不回头无规行走,计算其平均末端距平方。这个问题有解析解,在我自己大约20年前写的讲义上,给了一个解析结果,我完全想不起来这个结果是怎么来的。既然是布置的作业,自己也应该做一遍,于是,写了几行代码,运行了几分钟,结果就出来了。不幸的是,计算结果与我所给的那个解析结果不符。当然,一般的行为是对的 $\langle R^2 \rangle \propto N a^2$, 这里, $N$ 是链长, $a$为格点常数。但系数与讲义上的结果不一样。计算结果和讲义上的公式,至少有一个是错的。程序太简单,不大可能出错,但基于刚刚犯过一个简单的错误,所以还是仔细斟酌了算法,检查了代码,确认无误。那么,公式大概是错了,因讲义上没有任何关于此公式来历的信息,遂上网搜索,搜到若干结果,都是不带系数的正比关系。于是,决定坐下来认真地推导一下这个公式。先是针对正方格子,很快能得到结果,然后注意到对于一般的格子也成立,所得系数只与格点的最近邻数$z$有关且关系非常简单。结果是:
在$N \ge 2$时, 末端距平方的平均值为
$$
\langle R^2 \rangle =\frac{z}{z-2} Na^2 – \frac{2}{(z-2)^2} \frac{(z-1)^N -1}{(z-1)^{N-1}} a^2 \qquad(1)
$$
当$ N \to \infty $时为
$$
\langle R^2 \rangle =\frac{z}{z-2} Na^2 \qquad(2)
$$

下面是推导过程,也许有更好的推导方法,这里的推导过程基本上没有任何技巧。先考察正方格子,末端距矢量$\vec R$为
$$
\vec R = \sum_{i=1}^N \vec r_i
$$
其平方的平均为
$$\langle R^2\rangle = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \langle \vec r_i \cdot \vec r_j \rangle
=\sum_{i=1}^N a^2 +2\sum_{j=2}^N \sum_{i=1}^{j-1} \langle \vec r_j \cdot \vec r_i\rangle
$$
第一项为$ N a^2 $。对于简单的无规行走(RW),第二项为0, 得到 $\langle R^2\rangle = Na^2$, 这个结果在很多教材和文献中都能看到。对于不回头的无规行走(NRRW), 第二项不为0. 现在计算第二项,为简单起见,设$a=1$。从$i=j-1$开始,$\vec r_j$相对于$\vec r_{j-1}$, 有三种可能,一是相同,另两个分别是向左和向右转$\pi/2$,与$\vec r_{j-1}$点乘的结果分别是$1, 0, 0$,平均为$\frac13$; 再看$i=j-2$,相对于$\vec r_{j-2}$, $\vec r_{j-1}$有三种取向,对于每个$\vec r_{j-1}$的取向,$\vec r_j$有三个取向,共有9种,但$\vec r_j$只有四种可能,直接计算得到,与$\vec r_{j-2}$一致的有三个,其他三种各有二个,与$\vec r_{j-2}$点乘,并相加,得到$1$, 除以$9$,平均值为$\frac19 =\frac1{3^2}$; 对于$i=j-3$,计算得到的平均值为$ \frac1{3^3}$, 由此自然可以推断,对于$i=j-k$, $\langle \vec r_i \cdot \vec r_j \rangle =\frac1{3^k}$, 这样
$$
\sum_{j=2}^N \sum_{i=1}^{j-1} \langle \vec r_j \cdot \vec r_i\rangle=\sum_{j=2}^N \sum_{i=1}^{j-1} \frac1{3^k}=N-\frac12 \frac{3^N-1}{3^{N-1}}
$$
与第一项相加, 恢复$a^2$,得到
$$
\langle R^2\rangle =2 N a^2 -\frac12 \frac{3^N-1}{3^{N-1}}a^2 \qquad(3)
$$
当$N$比较大时
$$
\langle R^2\rangle =2 N a^2 \qquad(4)
$$
上面的两个公式,与模拟结果完全符合。

计算加上猜测,得到了正方格子上NRRW末端距平方平均的公式。 能不能得到一般的公式呢? 想了两天,隐约想起Flory的书上讨论过类似问题,可惜书不在手边,而经常下载书的两个网站似乎都出问题了,上不去,所以也找不到电子版。搜了几篇Flory的文章,大致找到了思路(看到这里的同学,若手边有Flory的书,可以查一下,是否有这个公式的推导?)。 考虑一般的三维情况, $\vec r_j$可以表示为一个列矩阵
$$
\vec r_j = \left[\begin{matrix} x_j \\ y_j \\z_j \end{matrix} \right]
$$
从$\vec r_{j-1}$到$\vec r_j$, 经由一旋转完成,记这个旋转的变换矩阵为$T_{\vec \theta}$, 则有
$$
\left[\begin{matrix} x_j \\ y_j \\z_j \end{matrix} \right] = T_{\vec \theta}\left[\begin{matrix} x_{j-1} \\ y_{j-1} \\z_{j-1} \end{matrix} \right]
$$
或简单写成
$$
\vec r_j = T_{\vec \theta} \vec r_{j-1} \qquad(5)
$$
这些$T_{\vec \theta}$构成一个群,不过这里并不需要此性质。上面的结论对于二维也成立,所以接下来的分析与空间维数无关。对于简单的无规行走,$\sum_{\vec \theta} \vec r_j =0$, 这样就有, 当$i\ne j$时
$$
\langle \vec r_i \cdot \vec r_j\rangle =\frac1z \sum_{\vec \theta } \vec r_i \cdot \vec r_j =\vec r_i \cdot \frac1z \sum_{\vec \theta } \vec r_j =0
$$
此处, $z$是最近邻数, $\vec\theta$的取值使得从一个矢量出发,能够转动到所有可能的矢量。由
$$\sum_{\vec \theta} \vec r_j = \sum_{\vec \theta} T_{\vec \theta} \vec r_{j-1} =0
$$
此结果对于任一 $\vec r_{j-1}$成立, 则有 $\sum_{\vec \theta} T_{\vec \theta} =0$。对于NRRW,所有可能的$\vec r_j$是扣除$-\vec r_{j-1}$外所有简单无规行走的可能转动。即
$$
\sum_{\vec \theta}{}’ \vec r_j -\vec r_{j-1}= \sum_{\vec \theta} {}’ T_{\vec \theta} \vec r_{j-1} – \vec r_{j-1}=0
$$

$$
\sum_{\vec \theta} {}’ T_{\vec \theta} \vec r_{j-1} = \vec r_{j-1}
$$
这里带撇的求和是对除去立刻折返的所有可能转动求和,即对NRRW的所有可能的行走方向求和。上式对任一$\vec r_{j-1}$成立,于是就有
$$
\sum_{\vec \theta} {}’ T_{\vec \theta} = I \qquad(6)
$$
$I$为恒等变换,或绕任意轴的转动角度为$0$的转动。(6)式的求和有$z-1$项, 得到NRRW的转动矩阵的平均值为
$$
\langle T_{\vec \theta}\rangle = \frac1{z-1}\sum_{\vec \theta} {}’ T_{\vec \theta} = \frac1{z-1}I \qquad(7)
$$
现在考虑NRRW, 若$\vec r_j$经由$\vec r_{j-k}$行走$k$步而来, 则
$$
\vec r_j = T_{\vec \theta_k} T_{\vec \theta_{k-1}}\cdots T_{\vec \theta_1} \vec r_{j-k}
$$
$$
\vec r_{j-k} \cdot \vec r_j = \vec r_{j-k} \cdot T_{\vec \theta_k} T_{\vec \theta_{k-1}}\cdots T_{\vec \theta_1} \vec r_{j-k}
$$
对上式求平均,注意到此时$\vec r_{j-k}$为一给定矢量,而每一步的转动矩阵是独立的,得到
$$
\begin{aligned}
\langle \vec r_{j-k} \cdot \vec r_j \rangle = & \vec r_{j-k} \cdot\langle T_{\vec \theta_k} T_{\vec \theta_{k-1}}\cdots T_{\vec \theta_1} \rangle \vec r_{j-k} \\
=& \vec r_{j-k} \cdot\langle T_{\vec \theta_k}\rangle\langle T_{\vec \theta_{k-1}}\rangle\langle \cdots \rangle\langle T_{\vec \theta_1} \rangle \vec r_{j-k} \\
=& \vec r_{j-k} \cdot \frac{1}{(z-1)^k} I \vec r_{j-k} =\frac1{(z-1)^k} a^2
\end{aligned} \qquad(8)
$$
于是
$$
\begin{aligned}
2\sum_{j=2}^N \sum_{i=1}^{j-1} \langle \vec r_i \cdot \vec r_j\rangle = & 2\sum_{j=2}^N \sum_{k=1}^{j-1} \langle \vec r_{j-k} \cdot \vec r_j\rangle = 2\sum_{j=2}^N \sum_{k=1}^{j-1} \frac{1}{(z-1)^k} a^2 \\
=&2\sum_{j=2}^N \frac{1-\frac{1}{(z-1)^{j-1}}}{z-2} a^2 =\frac{2}{z-2}\left(N-1 -\frac{1-\frac1{(z-1)^{N-1}}}{z-2} \right) a^2 \\
=& \frac{2}{z-2} N a^2 – \frac{2}{(z-2)^2} \frac{(z-1)^N -1}{(z-1)^{N-1}} a^2
\end{aligned} \qquad(9)
$$
这样就得到
$$
\begin{aligned}
\langle R^2\rangle = & \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \langle \vec r_i \cdot \vec r_j \rangle
= \sum_{i=1}^N a^2 +2\sum_{j=2}^N \sum_{i=1}^{j-1} \langle \vec r_j \cdot \vec r_i\rangle \\
=& N a^2 +\frac{2}{z-2} N a^2 – \frac{2}{(z-2)^2} \frac{(z-1)^N -1}{(z-1)^{N-1}} a^2 \\
=& \frac{z}{z-2} N a^2 – \frac{2}{(z-2)^2} \frac{(z-1)^N -1}{(z-1)^{N-1}} a^2
\end{aligned}
$$
这个结果仅仅依赖于行走的步数$N$和格点的最近邻数$z$,在二维及以上空间,与空间维数无关。因$T_{\vec \theta}$定义为对前一步的行走矢量的转动,所以对于如蜂窝状二维格子,金刚石结构的三维格子这样的复式晶格也成立。

在一维情形下,$z=2$, 公式(1)和(2)失效。 此时的NRRW意味着只能沿一个方向前进,故末端距的平方为 $R^2 = N^2 a^2$。

为了检验这个结果,我模拟了二维三角格子和蜂窝格子,三维的简单立方格子、面心立方格子和金刚石结构的格子,所得结果与公式(1)和(2)均精确符合。

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方框子中的两个盘子,一错到底

$$\def\dd{\text d}$$
今年的五一劳动节过的名副其实. 节前,与几个小同学讨论他们做的一个题目,在没有准备的情况下,讲了一下一个盒子中放了若干个硬球的速度(或动量)分布的推导。
系统的能量是给定的,这样就有一个约束关系,即所有硬球的动能加起来守恒,写出来就是
$$
\sum_{i=1}^N \vec p_i^2 = 2mE \qquad (1)
$$
按照等概率假定,在此约束条件下,每个可能的微观状态有相同的概率。现在要求单粒子动量分布,这只要把常数的概率对于除一个硬球的动量外的其他动量积分即可,也就是对$N-1$个硬球的动量在(1)式的限制下积分。若对$\vec p_2, \vec p_3, \cdots, \vec p_N$积分,限制条件成为
$$
\sum_{i=2}^N \vec p_i^2 = 2mE -\vec p_1^2 \qquad (2)
$$
若系统所在的空间维数是$D$, (2)式是一个$D(N-1)$维空间的球面,球的半径$R =\sqrt{2mE -\vec p_1^2}$, 所以,积分的结果就是这个球的面积,正比于 $R^{D(N-1)-1}$,于是,单粒子动量分布就是
$$
f(\vec p) = C (2mE-\vec p^2)^{d(N-1)/2-1/2} \qquad (3)
$$
$C$由归一化条件决定,即要求
$$
\int f(\vec p) \text{d}^D \vec p =1
$$
这基本上就是我当时所讲的内容。然后,看一下$D=2$, $N=2$的情形,此时(3)成为
$$
f(\vec p) = C (2mE-\vec p^2)^{1/2}
$$
这个结果是错的(第一次错误)!!为什么会错?当时没有想清楚。只好告诉同学,等想清楚了再告诉他们为什么是错的。

实际上,这个错误本来是不会犯的,给定能量,等概率的分布与$\delta(E-H)$成比例,当时问了一下几位小朋友,他们还没有学到$\delta$函数,于是就想回避$\delta$函数,结果算错了。当然,可以回避$\delta$函数,这就是刘全慧老师推荐过的,发表在大学物理上的李洪芳老师等的文章中的做法,把确定能量的约束条件看成是能量处于一个$\Delta E$的范围,再令$\Delta E \to 0$,这大致是所谓微正则系综的标准做法。为什么直接在球面上积分就错了呢?给定了能量,把系统的动量限制在一个$DN$维空间的球面上了,$N$个粒子的动量,有$DN$个,所以对应的体积元是$DN$维。微观状态是定义在$DN$维空间上,即$DN$维空间的一个“点”为一微观状态。为了确切定义,这个点应该是有大小的,而有大小的点无法嵌入到低一维的面上去。如果非要在低一维的面上做事情,就得用$\delta$函数,这个函数自狄拉克引进后,如今已经很平常了。直接在球面上积分,相当于是固定了球的半径,而固定能量,给定的是球的半径的平方。直观的看,这是等价的,但是,计算的结果并不一样,后面的具体计算中会看到这个差别。这样,$N$个粒子的分布函数应写成
$$
P(\vec p_1, \vec p_2, \cdots, \vec p_N) \propto \delta(\sum_{i=1}^N \frac{\vec p_i^2}{2m} -E)
$$
对$\vec p_2, \vec p_3, \cdots, \vec p_N$积分即得单粒子动量分布。令 $$X = \sqrt{\vec p_2^2 +\vec p_3^2 + \cdots +\vec p_N^2}$$则
$$
\begin{aligned}
\delta(\sum_{i=1}^N \frac{\vec p_i^2}{2m} -E)= &2m \delta(X^2 +\vec p_1^2 – 2mE) \\
= &\frac{m}{\sqrt{2mE-\vec p_1^2}}(\delta(X-\sqrt{2mE-\vec p_1^2})+\delta(X+\sqrt{2mE-\vec p_1^2})) \\
\dd^D\vec p_2 \cdots \dd^D\vec p_N = &X^{D(N-1)-1}\dd X\dd\Omega_{D(N-1)}
\end{aligned}
$$
$\dd \Omega_{D(N-1)}$是$D(N-1)$维空间的球面角元。如果是对球面积分,相当于是用了$\delta(X-\sqrt{2mE-\vec p_1^2})$,少了一个$\sqrt{2mE-\vec p_1^2}$的分母。

完成积分, 得到单粒子动量分布
$$
f(\vec p) = C_D (2mE-\vec p^2)^{D(N-1)/2-1}
$$
$C_D$由归一化条件决定。 $D=2$时,
$$
f(\vec p) = C_2 (2mE-\vec p^2)^{N-2}
$$
$D=3$时
$$
f(\vec p) = C_3 (2mE-\vec p^2)^{(3N-5)/2}
$$
分布仅与$\vec p$的大小有关,对角度积分,得到动量大小的分布。$D=2$时,
$$
f(p) =2\pi C_2 p (2mE- p^2)^{N-2}
$$
$D=3$时
$$
f(p) = 4\pi C_3 p^2 (2mE- p^2)^{(3N-5)/2}
$$
由归一化关系
$$
\frac1{2\pi C_2} = \int_0^{\sqrt{2E/m}} p (2mE- p^2)^{N-2} \dd p =\frac1{2(N-1)}(2mE)^{N-1}
$$
$$
\frac1{4\pi C_3} = \int_0^{\sqrt{2E/m}} p^2 (2mE- p^2)^{(3N-5)/2} \dd p
$$
令 $ x = \frac{mp^2}{2E} $,
$$
\begin{aligned}
\frac1{4\pi C_3} = & \frac12(2mE)^{3N/2-1} \int_0^1 x^{3/2-1}(1-x)^{3(N-1)/2-1} \dd x \\
=&\frac12(2mE)^{3N/2-1} B(\frac32, \frac{3(N-1)}{2}) \\
= & \frac12(2mE)^{3N/2-1} \frac{\Gamma(\frac32)\Gamma(\frac{3(N-1)}{2})}{\Gamma(\frac{3N}{2})} \\
=&\frac{\sqrt{\pi}}4 (2mE)^{3N/2-1} \frac{ \Gamma(\frac{3(N-1)}{2})}{\Gamma(\frac{3N}{2})}
\end{aligned}
$$
最后得到, $D=2$时
$$
f(\vec p) = \frac{(N-1)} {\pi(2mE)^{N-1}} (2mE-\vec p^2)^{N-2}
$$
$$
f( p) = \frac{2(N-1)}{(2mE)^{N-1}} p(2mE- p^2)^{N-2}
$$
$D=3$时
$$
f(\vec p) = \frac{1}{ \pi^{3/2} (2mE)^{3N/2-1}} \frac{\Gamma(\frac{3N}{2})}{ \Gamma(\frac{3(N-1)}{2})} (2mE-\vec p^2)^{(3N-5)/2}
$$
$$
f(p) = \frac{4}{\pi^{1/2} (2mE)^{3N/2-1}} \frac{\Gamma(\frac{3N}{2})}{ \Gamma(\frac{3(N-1)}{2})} p^2 (2mE- p^2)^{(3N-5)/2}
$$
特别的, 当$D=2$, $N=2$时
$$
f(\vec p) = \frac1{2\pi m E}, \quad f(p) = \frac{1}{mE} p
$$
这是正确的解果。由上述结果,很容易得到能量分布, $D=2$时
$$
f(\varepsilon) = \frac{(N-1)}{E^{N-1}} (E- \varepsilon)^{N-2}
$$
$D=3$时,
$$
f(\varepsilon) = \frac{2}{\sqrt{\pi} E^{3N/2-1}} \frac{\Gamma(\frac{3N}{2})}{ \Gamma(\frac{3(N-1)}{2})} \sqrt{\varepsilon} (E- \varepsilon)^{(3N-5)/2}
$$
$D=2$, $N=2$时
$$
f(\varepsilon) = \frac{1}{E }
$$
$D=2$, $N=3$时
$$
f(p)=\frac{1}{(mE)^2} p(2mE -p^2), \quad f(\varepsilon) = \frac{2}{E^2} (E-\varepsilon)
$$
在得到这些结果之后,恰好是劳动节。反正闲着也是闲着, 就花了一天时间,写了一段c代码,打算用分子动力学模拟检验一下这个结果。在李洪芳老师等的文章中,先有分子动力学模拟结果,然后是推导。但是,也许那个年代的计算机算力有限,李老师的结果中能看到明显的统计误差。现在的任何一台计算机,都能很快算出统计误差很小的结果,这只需要算得时间长一点即可。经过几次调试,就开始出结果了。先丢掉了$10^6$碰撞,然后每$20$次碰撞取一次数据,并统计数据得到若干个所求的分布。在整个变量区间,取了100个子区间,是李洪芳老师的25个子区间的4倍。能量分布的结果如下图,图中同时画出了理论结果。计算中取$m=1$,总能量$E=N$,这里$N=2$,即$E=2$。

由图可见, 计算结果和理论结果之间有明显差别, 而且,这个差别显然不是统计误差,这里的计算,取样数为$10^8$的数量级,统计误差大体为$10^{-4}$的量级。应该是什么地方出错了,如果没有错误,这将是一个重要发现,因为这表明遍历性发生了破缺,而长方框子中的两个硬盘子应该已经被数学家证明是遍历的。所以,一定是我算错了(第二次错误!)。把粒子数改为$N=3, 4, 5$等等, 计算结果与理论结果的差别从图上看已不明显,但如果把计算结果和理论结果之差画出来,则仍然可以判定二者之差不是统计误差。

此后两天,仔细检查代码,没有找到错误。

根据经验,不停地找下去,非明智之举。遂放在一边,打算过几天再来检查。但这个诡异的结果,总是在脑子里挥之不去。直到前天早晨醒来,突然意识到错误出在何处。爬起来,只需要改写几行代码,二分钟搞定,编译,提交计算。刷牙,洗脸,喝了一杯牛奶,计算已经结束。立刻画图,图在下面。

模拟结果和理论结果几乎重合,把两个结果之差画出来,是合理的统计误差。误差对于$\varepsilon$和$E-\varepsilon$对称,这是因为计算中能量给定为$E$,在每个取样中,$\varepsilon$和$E-\varepsilon$ 同时出现。


最后,揭秘错误。这是一个非常非常初等的愚蠢错误,错在取样方法。分子动力学计算中,物理量的平均值是时间平均,所以正确的做法是以等时间隔取样。而错误的原因是以等碰撞间隔取样。对于两个盘子,盘子与框子边的碰撞次数比两个盘子互碰的次数要多,而与框子边的碰撞不改变盘子速度的大小,当两个盘子速度差不多时,在相等时间间隔内与框子边的碰撞次数比两个盘子速度相差较大时要多,这就是导致错误的原因。当粒子数增加时,与框子边的碰撞次数相对于盘子之间的碰撞次数变小,所以,等碰撞次数取样与等时间间隔取样的差别变小。

这样一个小题目,两步都做错了,再经过反复才做对,实属不易。以前做题目,几乎每次都会犯点错误,但大部分步骤还是对的。而每一步都错,似乎还是第一次碰到。写出来,做个记录。30多年前,也曾经有过一次错误和教训,过一阵再爆。

一个题目做错一步并不难,难的是每一步都做错,一错到底。

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Pathria教材的一处错误以及广延量和强度量

$$\def\dd{\text{d}}$$
这两年给云南大学物理天文学院的研究生教一门叫做《高等统计物理》的课。自己准备了一份讲义,推荐了三本参考书,分别是M. Plischke, B. Bergerson, Equilibrium Statistical Physics; A. J. Berlinsky, A. B. Harris, Statistical Mechanics, An Introductory Graduate Course; R. K. Pathria, P. D. Beale, Statistical Mechanics。第三本大概是一本广泛使用的教材,因为它已经出到第四版了。昨天在浏览此书时,捕捉到一个明显的错误。查了一下,这个错误从第一版一直到第四版都存在。这是很奇怪的事情,正常情况下,新版会改正老板的错误,并产生若干新的错误。一个明显的错误能够持续存在于每个版本,应属罕见。

先说这个错误,出现在第四版,第15章,第1节,公式(18); 第三版,第十五章,第1节,公式(18); 第二版,第14章,第1节,公式(18); 第一版,第13章,第1节,公式(18)。错误的公式是
$$\begin{aligned}
\overline{(\Delta E)^2} & =k T^2 C_V+k T \kappa_T V\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)_T^2 \\
& =k T^2 C_V+k T \kappa_T\left(\frac{N^2}{V}\right)\left(\frac{\partial E}{\partial N}\right)_T^2 .
\end{aligned} \qquad(Pathria18)
$$
这里 $E$ 是能量,$V$是体积,$N$是粒子数。第一行给出的是固定粒子数时,系统能量的涨落,对应的是等温等压分布下的能量涨落;第二行转换到固定体积时,能量的涨落,对应于巨正则分布下的能量涨落。错误出现在第二个等式。两种分布下的能量涨落并不相等。

在从第一行到第二行时,应该是使用了公式
$$
\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)_T=-\frac{N}{V} \left(\frac{\partial E}{\partial N}\right)_T \qquad (1)
$$
而这个公式显然是错的。

能够一眼看出这个错误,是因为本人在很久很久以前为一个等式苦恼过,印象很深。这个等式是
$$
\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_{T,N}=-\frac{N^2}{V^2} \left(\frac{\partial \mu }{\partial N}\right)_{T,V} \qquad (2)
$$
本科上《热力学统计物理》课时,大概是上课没有注意听讲,课后证明这个公式时,想了各种办法,怎么也证不出来。证明时,用到的无非是麦克斯韦关系,以及能想到的各种偏微分变换关系。实际上,龚昌德老师的讲义上写了证明,但油印讲义看起来很不愉快,直到花了两周左右,完全绝望时,只好仔细去看那本印刷质量极差的讲义,终于明白为何证不出了。这里,关键点是要用到广延量和强度量的性质。

热力学中的量只有两类,一类是与系统的大小成比例的广延量,如能量,熵,体积,粒子数等等;另一类是与系统大小无关的强度量,如化学势,温度,压强等等。两个广延量之比,是强度量,典型的是粒子数密度$\frac{N}{V}$。每一个广延量都可以定义其对应的密度,如能量密度$\frac{E}{V}$, 熵密度$\frac{S}{V}$等等。 选作为独立变量的,既可以是广延量,也可以是强度量。如果考虑简单的单元系统, 能量的自然变量是$S$,$V$,$N$,均为广延量;自由能的自然变量是$T$, $V$, $N$;吉布斯自由能的自然变量是$T$,$p$, $N$等等。但是,三个变量中至少要有一个是广延量,如果选三个强度量作为自然变量,例如$T$, $p$, $\mu$,则对应的“热力学势”为0。$-S\dd T+V\dd p -N\dd \mu =0$,这可以看做是三个强度量之间的一个约束关系。

因为强度量与系统的大小无关,这意味着强度量只能是强度量的函数。如果选择$T$,$V$, $N$为独立变量, 则强度量只能是$T$和$\frac{N}{V}$的函数; 如果选择$T$, $p$,$N$为独立变量, 则强度量只能是$T$和$p$的函数,与$N$无关。现在看(2),因为$p$和$\mu$是强度量,在选$T$,$V$,$N$作为独立变量时,有
$$
p=p(T, \frac{N}{V}), \quad \mu =\mu(T,\frac{N}{V})
$$
于是
$$
\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_{T,N}=\left(\frac{\partial p}{\partial \frac{N}{V}}\right)_{T}\left(\frac{\partial \frac{N}{V}}{\partial V}\right)_N=-\left(\frac{\partial p}{\partial \frac{N}{V}}\right)_{T}\frac{N}{V^2}
$$
$$
\left(\frac{\partial p}{\partial N}\right)_{T,V}=\left(\frac{\partial p}{\partial \frac{N}{V}}\right)_{T}\left(\frac{\partial \frac{N}{V}}{\partial N}\right)_V=\left(\frac{\partial p}{\partial \frac{N}{V}}\right)_{T}\frac{1}{V}
$$
综合以上二式,得到
$$
\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_{T,N}=-\frac{N}{V}\left(\frac{\partial p}{\partial N}\right)_{T,V} \qquad (3)
$$
这个结果对于任意强度量都成立。故对于化学势$\mu$,同样有
$$
\left(\frac{\partial \mu}{\partial V}\right)_{T,N}=-\frac{N}{V}\left(\frac{\partial \mu}{\partial N}\right)_{T,V} \qquad(4)
$$
由麦克斯韦关系
$$
\left(\frac{\partial p}{\partial N}\right)_{T,V}=-\left(\frac{\partial\mu}{\partial V}\right)_{T,N} \qquad (5)
$$
由(3)、(4)、(5)立即得到(2)。

(3)、(4)二式和(1)式是一样的,但(1)式中被求导的是广延量$E$,(3)、(4) 二式被求导的是强度量$p$和$\mu$。(3)、(4)式这样的等式仅对强度量成立。

现在考察广延量,就以$E$为例。 因$E$是广延量,故可以写为
$$
E = V\varepsilon =N \overline{\varepsilon}
$$
其中的$\varepsilon=\frac{E}{V}$, $\overline{\varepsilon}=\frac{E}{N}=\frac{V}{N} \varepsilon$均为强度量。于是
$$
\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)_{T,N}=\varepsilon +V\left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial V}\right)_{T,N}=\varepsilon -\frac{N}{V}\left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial \frac{N}{V}}\right)_{T}
$$
$$
\left(\frac{\partial E}{\partial N}\right)_{T,V}= V\left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial N}\right)_{T,V}= \left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial \frac{N}{V}}\right)_{T}
$$
综合以上二式,得到
$$
\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)_{T,N}=\frac{E}{V}-\frac{N}{V}\left(\frac{\partial E}{\partial N}\right)_{T,V}
\qquad (6)$$
(6)式与(1)式的区别在于多了$\frac{E}{V}$一项。(6)式可以套用到所有的广延量。至此可以看出,(Pathria18)式或(1)式的错误在于把$E$按照强度量计算。而这样一个显而易见的错误能贯穿第一版到第四版,大概是所有用这本书做教材的老师(包括作者)都没有在课程中讲授过这部分内容。能量的涨落以及几乎所有的热力学量的涨落都不能直接测量,所以在课程中略去这一部分自然合理。分子数密度的涨落可以测量,我们每天都能看到这个涨落对于光的散射。好玩的是,无论是固定体积或者固定粒子数,算出的分子数密度的涨落都一样。倘若有正在学习《热统》课程的同学看到这里,不妨分别在两种条件下算一遍分子数的涨落,或许会有些许收获。

作为例子,考虑单原子分子理想气体,能量为$E=\frac32 NkT$,与体积无关,于是 $C_V =\frac32 Nk$,
$$
\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)_{T,N}=0,\quad \left(\frac{\partial E}{\partial N}\right)_{T,V}=\frac32 k T
$$
显然满足(6)式。等温压缩率$\kappa_T=\frac1p=\frac{V}{NkT}$, 由此得到,在固定粒子数,体积可以涨落时
$$
\overline{(\Delta E)^2} =k T^2 C_V+k T \kappa_T V\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)_T^2= \frac32 N k^2 T^2
$$
在固定体积,粒子数可以涨落时
$$
\begin{aligned}
\overline{(\Delta E)^2}=&k T^2 C_V+k T \kappa_T\left(\frac{N^2}{V}\right)\left(\frac{\partial E}{\partial N}\right)_T^2 \\
=&\frac32 N k^2 T^2+\frac94N k^2 T^2 =\frac{15}{4} N k^2 T^2
\end{aligned}
$$
两种限制条件下的能量涨落不同。

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E. 克拉珀龙 (1837): 论热的动力

在2016年-2019年期间, 我在上海交通大学开设了名为《热物理学的建立和演化》的新生研讨课,课程内容之一是研读几篇经典的热物理文献.  克拉珀龙的文章是其中的第二篇,当时无法找到文章的中文全文翻译. 为了帮助同学阅读其英文翻译,我在课程进行中陆陆续续从英文翻译成中文.  注意到目前似乎还没有这篇重要历史文献的完整中文翻译,现整理逐步发出,以作为引玉之砖,希望能有基于法文原文的确切的中文翻译尽早出现. 19世纪40年代之后, 许多学者是通过克拉珀龙的这篇文章得知卡诺的工作的,这篇文章在热物理学的发展历史上有重大意义.

英文版本来自于如下链接:https://en.wikisource.org/w/index.php? title=Scientific_Memoirs/1/Memoir_on_the_Motive_Power_of_Heat&oldid=5767467

考虑到目前手机已经成为重要的阅读工具, 这里给出一个适合A4纸打印的版本和一个适合手机阅读的版本.

clapeyron-trans-A4

clapeyron-trans-note

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卡诺-热动力的思考

在2016年-2019年期间, 我在上海交通大学开设了名为《热物理学的建立和演化》的新生研讨课,课程内容之一是研读几篇经典的热物理文献. 卡诺的文章是其中的第一篇,但当时无法找到文章的中文全文翻译. 为了帮助同学阅读其英文翻译,我在课程进行中陆陆续续从英文翻译成中文. 翻译中所依据的两个英文版本的语音风格差别较大,个别地方的含义也有不同. 注意到目前似乎还没有这篇重要历史文献的完整中文翻译,现整理发出,以作为引玉之砖,希望能有基于法文原文的确切的中文翻译尽早出现.

英文版本来自:The Second Law of Thermodynamics — Memoirs by Carnot, Clausius and Thomson. Translated and Edited by W. F. Magie, Ph. D.  Professor of Physics in Princeton University.  New York & London: Harper & Brothers Publishers, 1899    和   REFLECTIONS ON THE MOTIVE-POWER OF HEAT,Edited by H. Thurston, Director of  Sibley College, Cornell University.  Second Revised Edition,  New York:  John Wiley &  Sons.  London:  Chapman & Hall Limited, 1897, 1960年 Dover 出版了这本书的修订版.

考虑到目前手机已经成为重要的阅读工具, 这里给出一个适合A4纸打印的版本和一个适合手机阅读的版本.

carnot-translated-A4

carnot-translated-cell

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冬至、圣诞及其它

(下面的一段文字2016年12月26日发在本人的一个公众号里,今天下午,收到一个通知,说是违反了相关法规和政策,被删了。花了很大的力气,终于找到了这篇文字,发在这里。查了一下,本文共被阅读27次。特别佩服腾讯,时隔6年还能查出违规,也特别感激腾讯,让一篇违规的文章存活了六年。)

 

由于地球的自转轴与公转平面不垂直,在地球绕太阳公转一圈的365天,就有了四季。每年的夏至和冬至两天,是北半球面向太阳时间最长和最短的两天。夏至的日照时间最长,冬至的日照时间最短。而春分和秋分对应的是一天中白天和晚上一样长(应该是说日照和无日照时间一样长)的两天。

地球的温度与日照时间有关,日照时间长了,地球得到的热量多,也自然就暖和一些,但由于地球大气,海洋等的储热作用,地球温度的变化就有了一个推迟效应。于是,冬至并不是最冷的一天,而大致是开始变冷的一天,经过20多天后,才会达到最冷;同样,夏至也不是最热的一天,经过20多天后,才达到最热。除了日照时间,温度也与阳光的入射角度有关,夏天直射的时间多,传递到地球上的热量也多。前两天冬至,现在开始的20多天,天继续变冷,但日照的时间开始逐日增加了。

昨天是圣诞节,据说是耶稣的生日。耶稣据说是上帝派来的,是上帝的使者。不过,这只限于基督教。而伊斯兰教的穆斯林则认为穆哈默德才是上帝的使者。犹太教还在等待上帝的使者的到来。信仰上帝的宗教,其上帝都是一样的,而不同之处,只是所认可的上帝的使者不同。由于基督教的广泛传播和基督教为主的西方国家影响,全世界都在过圣诞节,只是很多人根本不知道圣诞的来历。另一方面,12月25日是在耶稣死了很多年后才定下来的纪念耶稣诞生的日子,并不是耶稣的生日,耶稣的生日在圣经上没有记载,所以也就不知道了。犹太教好像是最古老的,后来,有了耶稣,号称是上帝的使者,说了一些话,做了一些事,被人记录下来,似乎就是圣经的新约了。伊斯兰教则要晚几百年,由号称为上帝的最终使者的穆哈默德创立,穆哈默德传达了一些号称是上帝的话,也说了一些话,这些话被记录下来,就成了古兰经和圣训。在此之后,不断有号称上帝使者出现,但都没有成为大气候,或者在早期就被当作邪教给处理了。现在留下来的信上帝的,也就是这三个宗教了。

今天,也算是圣诞节,记得上小学二年级时,有一天到学校后,发现李老师带着几个高年级同学敲锣打鼓,很是热闹。一打听,才知是在为毛主席庆贺生日。从此就记住了12月26日这个特别的日子。有很长一段时间,毛被当成了神,是和上帝一个级别的,其诞辰,那才是不折不扣的圣诞日。

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开课了

这学期应邀为云南大学物理专业的新生上《力学》课。因事先对于该校学生的状况缺乏了解,对于能否上好课相当担心。

1988年到上海交通大学应用物理系任职,第一次本科生教学是给许挺成老师的《大学物理》担任助教,主要职责是批改大约120余本作业,上习题课和刻印测验考卷,以及在许老师出差时,代了几次课。学生来自动力系,这个系后来与机械系合并,成为机械与动力工程学院。我退休前,被仗时任校长张杰之势的恶霸系主任季向东所迫,离开物理系,在机械与动力工程学院流亡8年并得到了极好的照顾,或许冥冥之中早有安排。

此后,主讲过非物理专业的《大学物理》,少年班和强化班的《大学物理》。再后来,开设并主讲物理专业的《计算物理》。大概在2000年左右开始,开始主讲物理专业的《力学》十余年,同时还讲过《量子力学》, 《热力学统计物理》若干次。物理专业的课程,人数最多时大概60左右,少时不足40。

除本科生课程外,基本上每学期都教研究生课程,研究生课的学生人数较少,大多数时候都是10人左右。按课时算,教过的研究生课时大于本科生课时,但在本科生教学中的付出远大于研究生课。

最早上《力学》课时,用的教材是漆安慎和杜婵英的《力学》,因师生均感觉这本书的习题相对比较容易,两年后改用赵凯华和罗蔚茵的《新概念物理教程:力学》作为教材。数年后,因发现同学们的作业做的越来越漂亮,感觉学生中或许有一套可以参考的习题解答,遂改用郑永令和方小敏的《力学》作为教材。三本书各有特色,都是很好的力学教材。特别是后两种,在深度和习题的难度上,与上海交通大学物理专业学生的程度比较切合。当然,也有少数同学很难跟上。2013年和2014年,在华东师范大学上过两次《力学》,分别用的是舒幼生的《力学》和张汉壮的《力学》做教材,两本教材与学生程度之间都不是很贴合。

这次在云南大学上课,安排使用的教材是漆安慎和杜婵英的《力学》的第三版,新版与当年使用的大概是第一版相比,似乎没有太大变化。这本教材好像出版了配套的习题解答,而且网上也有大量的这本教材的习题解答,所以,我打算在上课过程中,自己找一些习题给学生做。国内外各种力学教材上有大量的习题可以选择,找题并不难,只是要花点时间自己先做一遍。

班上有60余位同学,没有助教,更不可能有18位导师组成的超豪华助教团。没有召开过关于课程设计的研讨会,只有自己一个人在十余年教学经验的基础上,苦思冥想了十余天,按照学时数设计了课程。本课程的目的主要还是传授知识,同时也希望在学习知识的同时,潜移默化地培养学生的科学素养和思维方法,为后续课程的学习和未来的职业生涯打下坚实的基础。

前两次课的课堂状况非常好,同学们的学习主动性很强,课堂气氛很好,讨论和提问很积极,大大超过我的预料。第一次作业下周才能看到,我估计也会非常优秀。好的开端是成功的一半, 我对上好这次云南大学的力学课有了很大的信心。

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(这是今年5月8日的一个记录,一直放在草稿中,改了几个错别字,今天发出来。)


昨天(5月7日)晚上做了一个奇怪的梦。这一年多来,每天晚上都是恶梦不断,感觉是身体不舒服所致,醒着时也是感觉不好,但也没有查出什么大毛病。这些恶梦,都很模糊,每次从恶梦中醒来,上趟厕所,随即又入睡了。早晨醒来,基本上已经忘记了。但昨天的一个梦非常清晰,醒来上完厕所,难以入睡,醒了大约半小时左右。当时整个梦境栩栩如生,不过早晨再醒来,能记得的,已经不多了。有几个画面还很清晰。

梦见蔡老师了,是在和蔡老师共同上一次课,蔡老师讲一段,我讲一段。蔡老师的样子是他50岁左右时的样子,非常精神和潇洒。我和蔡老师从来都没有过共同上课的经历,不知为何会有这样的梦境。今天突然意识到,蔡老师已经去世31年了,再过几天,5月13日,是老师的忌日。那一年,老师只有59岁。今年的九月二十四日是蔡老师90诞辰,希望老师的《热学》能在此时面世。

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评《大学物理》2021年(第40卷)第6期

最近,在厦门大学上了一个多月的《大学物理》课之后,我又开始注意与大学物理教学相关的东西。恰逢微信推送了《大学物理》 最新一期(2021年第6期)的目录,于是点开链接,浏览了一遍这期的文章,对其中的三篇文章有点看法,记录在此,主要是给自己留个记录。

第一篇是《“电动力学”课程思政建设的思考》。从题目看,此文似乎应该是一篇应景文字,但读下去,发现文章有些实质内容。认真读完,在略去若干套话之后,有所收获。整篇文章的结构,文字都经过了仔细加工,完全对得起读者。唯一发现的问题是摘要中一个关键的地方显然丢了一个字,不知是作者故意不“作”了,还是被编辑给“作”了。

与第一篇的摘要中丢了一字相比,第二篇的问题就要严重一点。这篇文章的题目是《中子星的形成机理在固体物理教学中的应用》,文章似乎是要说明可以把中子星的形成机理放在固体物理中讲授,但没有告诉我们作者自己是否放了?课时如何安排?教学效果如何?作者只是把非相对论极限下和极端相对论极限下态密度的计算写了出来。这些内容,都已经写在教科书上了,再把这些内容拿来, 放在一篇教学研究的论文中发表,完全没有必要。另外,这篇文章的文字水平太差,多处语句不通,可读性极差。文中还有一个低级错误,如图所示(自己找亮点)。

第三篇是问题最大的一篇,题目是《狭义相对论中质量与速度关系的特色推导方法》。这是一篇典型的逻辑混乱之作。作者在引言中,首先指责舒幼生的《力学》,赵凯华、罗蔚茵(在参考文献中被改写为 罗麓菌,罗老师找谁说理去!)的《新概念物理教程:力学》,朱荣华的《基础物理学》以及张三慧的《大学物理学:力学》中关于质量与速度关系的推导是循环论证,接着又指责其他的推导方法也是循环论证。又说这样的逻辑处理过程,初学者理解有很大困难。见下图。

舒幼生的书和赵凯华、罗蔚茵的书我都仔细读过,两本书在相对论动力学问题(包括所谓质速关系)的处理上,在初等水平上,没有任何问题。在建立了狭义相对论的时空之后,按照相对性原理,动力学方程必须在洛伦兹变换下不变。 以动量守恒和能量守恒为基本假定,并假定动量与速度方向一致,通过碰撞过程来确定动量与速度的关系,然后再以动量的时间变化率来定义力,得到动力学方程。这是一个前提明确,逻辑清楚的推理过程,完全不存在所谓循环论证的问题。当然,所建立的方程,最终要由实验来检验其正确性。另外两本书,我没有读过,按照作者的指责,这两本书的处理方法与前两本书的处理方法类似,应该也不存在所谓循环论证的问题。至于作者所说的“其它的推导方法”,没有引文,仅有作者的转述,我无法判断。不过,根据前一个不成立的指责来推断,这个指责不成立的概率应该接近于100%。 

赵凯华老师对于我国基础物理学的教学做出了杰出贡献,是我们非常尊敬的前辈。他与合作者编写的多本基础物理教材,特别是《新概念物理教程》,在国内毫无疑问是进入最好教材之列的,这些教材,是我国几代物理学工作者的案头必备书。我学电磁学时,用的教材是赵凯华和陈熙谋老师的《电磁学》;我教力学时,用的教材是赵凯华和罗蔚茵老师的《力学》。几十年来, 赵老师和合作者编写的几本教材,我读过多次,每读一次, 都有新的收获。赵老师是《大学物理》杂志的创刊主编,在《大学物理》上发表的文章中,无端指责赵凯华老师的教材,实在难以接受。 

在引言之后,作者用了很长的篇幅,通过胡克定律和点电荷的电场,论证在运动方向上的力在洛伦兹变换下不变。首先,这在逻辑上完全不通,因为作者还没有定义相对论中的力。 其次, 作者的论证过程存在诸多漏洞,这里无需一一指出,只要看一下原文就能发现。再次,论证的结果,是一个特殊情况下的结论,但被上升成为了一般结论。作者的结论是:在参照系相互运动的方向上,力在洛伦兹变换下不变。这个结论显然是错误的。狭义相对论力学中力的变换关系,在作者所引的第一和第二两本教材中均有详细推导。只有在受力的质点在其中一个坐标系中静止时,参考系运动方向上的力才在两个参考系中相同。另外,作者把点电荷之间的相互作用力称为静电力, 可是,当电荷运动时,电荷之间的相互作用力已经不是静电力了,作者似乎完全没有意识到这一点。

在没有给出力的定义的情况下,作者号称得到了关于参考系运动方向上力的变换关系(即不变)后,又说,“根据力的定义”写出了力等于   的时间导数,然后依据两个参考系的力相等得出了质速关系。此处,作者的论证逻辑完全错误,既然把    的时间导数定义为力,那么,力的变换关系就应该从这个定义出发去求得,而不应该把从胡克定律那里得到的关系用到此处。

如果作者确实按照这个完全没有逻辑的方式讲授,对学生来说,肯定是有害无益的,这里,既没有物理思想,也没有逻辑推理,只有拖泥带水的推导和不讲逻辑的论证。作者最后声称其推导没有假设,这显然不能成立。仅仅从洛伦兹变换出发,不做假设,不可能得到动力学关系。洛伦兹不变性仅仅对动力学方程的形式做了限制,而不能确定动力学方程。这里还要提及一点,作者在摘要中说的是“直接利用牛顿第二定律推导出质量与速度的关系”,在结尾处又说“没有假设”,自相矛盾。而实际上通篇做了多个假设,如假设胡克定律在所有惯性系成立,假设弹性系数是不变量等等。

如果作者确实按照这个完全没有逻辑的方式讲授狭义相对论,对学生来说,肯定有害无益。这种讲授方式,既没有物理思想,也没有逻辑推理,只有拖泥带水的推导和不讲逻辑的论证。作者最后声称其推导没有假设,这显然不能成立。仅仅从洛伦兹变换出发,不做假设,不可能得到包括所谓质速关系在内的动力学关系。洛伦兹不变性仅仅对动力学方程的形式做了限制,而不能确定动力学方程。我们知道,动量守恒定律和能量守恒定律是空间和时间平移不变性的结果,以此作为建立动力学关系的基本假设,是最合理的做法之一,也是大多数教材采用的方法。例如郑永令、贾起民和方小敏的《力学》,C. Kittel的《伯克利物理教程:力学》,D. Kleppner和R. J. Kolenkow的《力学引论》等教材都是这样处理的。 这里还要提及一点,作者在摘要中说的是“直接利用牛顿第二定律推导出质量与速度的关系”,在结尾处又说“没有假设”,自相矛盾。而实际上通篇做了多个假设,如假设胡克定律在所有惯性系成立,假设弹性系数是不变量等等。

作者最后声称“推导方法符合现在大学生的认知规律”,我完全不能接受这个结论。在我教过的大学生中,绝大多数都思路清楚,逻辑严密。另外,这篇文章的文字水平很差,多处用词不当,语句不通。

从三篇文章,可以看出《大学物理》杂志还有比较大的上升空间,希望主编,编委和编辑部的老师们把好关,多发优秀稿件,少发和不发问题稿件。

本文已在本人的微信公众号发表,链接在此。https://mp.weixin.qq.com/s/kkHh7_4IrFb8dVcbwQ20fw

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由李政道物理班的一篇发了两次的公号文所想到的

2021年6月21日和22日,上海交通大学的物理与天文学院的公众号以同一题目两次发了一篇文章,在发表了第二次后,第一次的就被删除了。有一个叫做CUSPEA之家的公众号转发了第一次所发,这样,就让我们暂时还能同时看到这篇文章的先后两个版本。这篇文章的标题是“李政道先生为交大“李政道物理班”题词”,说的是上海交通大学要办一个“李政道物理班”,李政道先生为这个班题写了班名,而且题字“志存高远,勇攀高峰”。这10来年,上海交通大学把李政道先生这个品牌使用的极好,先后有”李政道图书馆“和”李政道研究所“,现在又要办一个”李政道物理班“,接下来,还可以办个“李政道科学艺术中心”等等。 很久很久以前,李政道先生在与自己有渊源的浙江大学办了一个理论物理中心,但浙大随后的几十年显然不给力,没能发扬光大;后来,李先生在同样是与自己有渊源的北京大学办了一个研究中心,可惜还是没有能够发展起来。最后,是与李先生完全没有渊源的上海交通大学,成为了李先生的手稿,收集以及名字的最终落脚之处。

在过去的几十年,李政道先生对于中国物理学的发展尽心尽力,做了很多事。特别著名的,一是 CUSPEA, 把中国近千名最聪明的年轻人送到美国培养,虽然其中的绝大多数没有回国,但对于提高中国学生在美国大学的地位有很大作用,极少数回国的,也都成为国内物理学的核心力量。二是推动建立博士后流动站,本意是为CUSPEA学生学成回国建立一个过渡平台,实际上切实解决了国内毕业的博士对分配的单位非常不满时的落脚之处。博士后流动站刚刚建立时的相对优惠条件,虽然对于CUSPEA们没有什么吸引力,但对于国内的博士,已经是好到无法想象(当时,正教授的工资大约300元–400元,有些教授的住房还没有解决。博士后的待遇是:月薪2000元,配二室一厅住房,本人和配偶落户,给配偶安排临时工作,其他福利待遇一律与在职人员相同)。三是推动北京正负电子对撞机的建设,不仅在这个对撞机上做出了若干不错的研究,更重要的是培养了一批加速器的人才。四是在北京建立了中国高等科学技术中心(CCAST), 这个中心一方面组织了大量的研讨会,为提高中国物理学的研究水平起到了实实在在的作用,另一方面通过发表文章署名付费方式,以每篇论文50 — 100美元的稿酬,大大改善了当时的物理学工人的生活。李先生还为中国的物理做过很多其他工作,如科大少年班等等,不再一一列举了。

现在回到这篇公众号文章。第一次发的在这里(也许在某个时刻之后就看不到了): https://mp.weixin.qq.com/s/4JtNw48i9RwdUNxvg0hNHw
文章中的第一张照片是李政道先生在上世纪80年代中期访问上海交通大学时在交大校园。图中注明是“1985年物理系教授与李政道先生在交大校园内”。 这个图注,相当违背事实,
1985年还没有物理系,那时是应用物理系。与李政道先生交谈的,是时任副校长兼研究生院院长,船舶及海洋工程系的盛振邦教授。李政道先生的另一边,是应用物理系蔡建华教授。盛振邦教授边上拎包的,没认出来,不过查一下应该也可以搞清楚。显然,与李政道在交大校园内的, 一位是校领导盛振邦教授,一位是应用物理系蔡建华教授。 接下来的一句”李政道先生与上海交通大学渊源深厚,早在1987年,李先生就受聘于上海交通大学名誉教授,多年来和学校一直保持着友好学术往来。” 也完全不是事实。 李政道先生与上海交通大学实际上没有什么渊源,在李政道图书馆开建之时,就有国内物理界的学者对此很不理解。上海交通大学与李先生之间,唯一能够扯上关系的,大概就是上海。李先生是上海人, 上海交通大学在上海。 李先生在1987年受聘为上海交通大学名誉教授,在很大程度上应该 与蔡建华教授有关。蔡建华教授在1980年就是CUSPEA委员会的委员,在委员会主任严济慈先生的领导下,参加了第一届CUSPEA及此后几届的选拔工作。 蔡建华教授也是李先生的CCAST的最早成员,而且是最高级别的成员,非常积极地参与了CCAST的早期工作。1990年蔡建华教授因病去世后,李政道先生在此后的近20年似乎与交大没有往来。

在交大与李先生没有往来的这段时间,杨振宁先生受聘交大,并被授予荣誉博士学位。这一方面是因为杨先生的弟媳妇谭茀芸女士(杨振汉妻)当时任上海交通大学顾问教授,对交大的发展和进步很上心,另一方面是因为杨先生与交大应用物理系的许伯威教授有学术往来。杨振宁先生在此期间访问交大数次 ,对交大的发展和交大物理的发展多有帮助。我印象比较深的一次大概是2000年,杨振宁先生访问交大,在徐汇校区的老图书馆一楼会议室开了一个小型座谈会,参加的有部分校领导和应用物理系的几位领导和老师。当时,我和几位老师在积极推动把应用物理系改名为物理系,但来自老师和同学的阻力较大,主要的担心是改名后招生和就业会受到较大影响,领导们一直拿不定主意。在这个座谈会上,校领导请教关于应用物理系改名物理系之事,杨先生表示强烈支持。随后不久,学校决定应用物理系改名为物理系。

李先生再次与交大发生关联,大概是2009年左右了, 这一年,李先生访问了上海交通大学。这便是 这篇公号文章第二次发出时的第一张照片。这是第二次发出的文章 https://mp.weixin.qq.com/s/umSsiJN-luhwG9fKt5RdtA 。 除了换掉第一张照片,其他部分大概没有做任何改动。新换上的照片是李先生2009年访问上海交通大学时,与时任校长张杰的照片。换照片的动机,我猜不出来。也许是因为盛振邦教授和蔡建华教授不够资格放在那个位置,或者是要特别突出张杰,也许或者有别的原因。这次访问之后,便是李政道图书馆的建设和建成,李政道研究所的成立, 现在进行中的李政道物理班, 以及未来可能会有的李政道科学艺术中心, … …。 杨先生此后再没有和交大有过学术的和非学术的往来。

李先生2009年那次访问,还有一个很好玩的,与本人有关的插曲。在留园接待李先生的宴会,我也参加了(按照当时的状况,我应该必须参加),但显然事先没有列入名单。到了宴会厅入座后, 发现李先生给每个参加的人都准备了一份礼物, 而这个礼物,应该是李先生到达上海前就准备好的,已经签好了名。季向东的秘书赵海鹰也是正式参加者,而校办的秘书们则跑前跑后地在做安排。显然,在李先生到上海之前,就已经有了一份名单, 这个名单,大概肯定是季向东提供的。 李先生的反应很快,在互相介绍问候后,立刻关照随行人员准备了一套与其他人不同的礼品,并题字签名。然后,在宴会正式开始前,亲自送礼品给每个人。其他人拿到的,是同样的礼物 ,我拿到的,是独一份的。

在李政道研究所的执行所长的产生过程中,据说出现了比小说和电视剧都要精彩一个量级以上的季向东抢所长的故事,以致执行所长迟迟无法产生。最后的结果,基本上符合此类剧的正常结局,两个抢位置的主明争暗斗,恶招损招频出,最后全部败下阵来。然后,一个或二个似乎是不相干的人坐上大位。这个抢所长的精彩故事,不应该由我来讲,所以就点到为止。

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